Solarisでキャラクターと背景があるシーンをレンダリングするとき、画像のようにすべてレンダリングした結果、キャラクターだけした結果、背景だけした結果を一度のレンダリングで出力するにはどうすればよいでしょうか？

使用しているバージョンはHoudini FX Education 20.5.370です。

サンプルファイルをつくりました。これではいかがでしょうか？
TOP ネットワークを右クリックして、Cook Output Node を選択すると、Karma Render Settings で設定している場所に三枚の画像が順次出力されます。

まさに私がやりたいことができました！ありがとうございます。
画像のパスの部分をインプットが0なら"All", 1なら"BG"などのように変えるにはどうすればよいでしょうか？

ワークアイテム側に対応するアトリビュートを載せ、Karma Render Settings でそれを利用すればよいです。
ここでは手動で設定していますが、これをベースに、Switch による切り替えを別の USD による上書きに置き換えたり、そもそものデータを別のところに用意して PDG でも Solaris でも同じデータを使用するように改良すると、堅牢になっていくと思います。