Houdiniを開こうとするとこのバナーが出るようになってしまい、開けなくなりました。
解決方法を教えていただきたいです。

お使いのOS (Windows?)とビルド番号、そして診断情報があると問題解決の助けになります。
https://www.sidefx.com/ja/faq/question/357/
[www.sidefx.com]

windowsで19.0.531を使っています。
診断情報も添付いたします。

古いバージョンを使いたいと思い、ダウンロードしたところダウンロードしたものは開くことが出来ず、元々使用していたバージョンのものも開けなくなってしまいました。

Houdini のライセンスは下位互換を保っています。つまり、最新 (Houdini19.5) のライセンスがあれば、基本的にはそれ以前のバージョンほぼすべて (H3 以降) を使うことが可能です。
しかし、新しいバージョン(またはビルド)をインストールしたのちに古いバージョン(またはビルド)をインストールする際には、インストール時のオプションで添付画像のように License Server をオフにしてインストールするのが無難です。
こうするれば、既存の問題なく稼働しているライセンスまたはライセンスツールに変更を加えることなく、古いバージョンを使うことができます。

今回の場合は、
まず H19.0.531 の License Administrator を起動し、File->Activate Apprentice を実行してください。
これで、お使いの Houdini が起動できるようになったのであれば、問題解決です。

もし、上記の方法で Houdini が起動できない場合、最新の Houdini (19.5.368) をダウンロード、すでにインストールされている Houdini をアンインストールせずに、Houdini 19.5.368 を License Sever 込みでインストール。インストール後に Houdini 19.5.368 の License Administrator を使って、File -> Activate License を実行してください。
これで、H19.5 および古いバージョン・ビルドの Houdini Apprentice がすべて起動できるようになるはずです。

ありがとうございます！